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纸上谈兵: 图 (graph)

时间:2019-11-29 11:03:36 出处:幸运快3_快3app娱乐_幸运快3app娱乐

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是一种比较松散的数据特性。它有或多或少节点(vertice),在或多或少节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也冒出过,大家通常在节点中储存数据。边表示5个多多节点之间的位于关系。在树中,大家用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是一种特殊的图,但限制性更强或多或少。

另5个多多的一种数据特性是很常见的。比如计算机网络,本来由或多或少节点(计算机后后路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统并都都上能 理解为图,地铁站都都上能 认为是节点。基于图有或多或少经典的算法,比如求图中5个多多节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥疑问报告 (Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市含晒 一根绳子 河流过,河含晒 5个多多小岛。有七座桥桥连接河的两岸和5个多多小岛。送信员总想知道,有那末5个多多土土办法,能不重复的走过7个桥呢?

(一种 疑问报告 在或多或少奥数教材中称为"一笔画"疑问报告 )

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的都都上能 看作由7个边和5个多多节点构成的5个多多图:

一种 疑问报告 最终被欧拉巧妙的解决。七桥疑问报告 也启发了一门新的数学得科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,后后某个节点全部都是起点后后终点,那末连接它的边的数目需用为偶数个(从5个多多桥进入,再从另5个多多桥离开)。对于柯尼斯堡的七桥,后后5个多多节点都为奇数个桥,而最多并能有5个多多节点为起点和终点,或多或少或多或少不后后一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。5个多多图的所有节点构成5个多多集合[$V$]。5个多多边都都上能 表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即5个多多节点。后后[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,那末图是有向的(directed)。有序的边都都上能 理解为单行道,并能沿5个多多方向行进。后后[$(v_1, v_2)$]无序,那末图是无向的(undirected)。无序的边都都上能 理解成双向都都都上能 行进的道路。5个多多无序的边都都上能 看作连接相同节点的5个多多反向的有序边,或多或少或多或少无向图都都上能 理解为有向图的一种特殊状态。

(七桥疑问报告 中的图是无向的。城市中的公交线路都都上能 是无向的,比如位于单向环线)

图的5个多多路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也本来说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为5个多多节点。路径上边的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,大家会在选泽某个路径,来从A站到达B站。另5个多多的路径后后有不止一根绳子 ,大家往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤状态,来选泽一根绳子 最佳的路线。后后位于一根绳子 长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,那末认为该图中位于环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中位于环路。

 

找到一根绳子 环路

后后从每个节点,到任意5个多多其它的节点,全部都是一根绳子 路径说说,那末图是连通的(connected)。对于5个多多有向图来说,另5个多多的连通称为强连通(strongly connected)。后后5个多多有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,那末认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

后后将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,另5个多多的图后后是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间那末路径相连。

图的实现

一种简单的实现图的土土办法是使用二维数组。让数组a的每一行为5个多多节点,该行的不同元素表示该节点与或多或少节点的连接关系。后后[$(u, v) \in E$],那末a[u][v]记为1,后后为0。比如下面的5个多多含晒 5个多多节点的图:

 

都都上能 简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

一种 实现土土办法所位于的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而很慢增多。后后边全部都是很密集,那末或多或少或多或少数组元素记为0,并能稀疏的或多或少数组元素记为1,或多或少或多或少并全部都是很经济。

更经济的实现土土办法是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,大家建立5个多多链表。对于任意节点k,后后有[$(m, k) \in E$],就将该节点装进到对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准土土办法。比如下面的图,

 

都都上能 用如下的数据特性实现:

 

左侧为5个多多数组,每个数组元素代表5个多多节点,且指向5个多多链表。该链表包含晒 该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表都都上能 分为两主次。邻接表所位于的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组主次储存节点信息,位于[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,位于[$|E|$]的空间,即边的总数。在或多或少复杂化的疑问报告 中,定点和边还后后有或多或少的附加信息,大家都都上能 将哪此附加信息储位于相应的节点后后边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

上边的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是一种很简单的数据特性。图的组织土土办法比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法复杂化度。我将在事先 介绍或多或少图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据特性”系列

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