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[区块链] 密码学——椭圆曲线密码算法(ECC)

时间:2019-11-23 09:47:14 出处:幸运快3_快3app娱乐_幸运快3app娱乐

  今天在学椭圆曲线密码(Elliptic Curve Cryptography,ECC)算法,另一方手里缺少介绍该算法的专业书籍,故在网上查了好多好多 博文与书籍,我希望大多数博客写的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊! 雷同不说,关键是介绍的都全是很清楚,是我在阅读过程中、产生的好多好多 问题报告 图片无法除理!这个:只来句‘P+Q=R’,我希望为哪些地方等于呢?是根据哪些地方计算出来的呢? 随后查了几时,才发现:这是规定的、是定义!瞬间很是无语!

  好了,不吐槽了,为了方便亲们对椭圆曲线密码算法有系统的了解,我挂接了几篇较好的博文,并加带了另一方的见解!

  [  时间有限、见解不深,如出显错误,欢迎指正!]


  比特币使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥,选用的是secp256k1曲线。

  椭圆曲线密码学(Elliptic Curve Cryptography) 的缩写。该算法是基于椭圆曲线数学的一种公钥密码的算法,其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问题报告 图片的困难性。

  在ECC流行起来随后,几乎所有的公钥算法全是基于RSA、DSA和DH ———— 基于模运算的可选加密系统。RSA及其友类算法在当前仍非常重要,一直与ECC并肩使用。不过,RSA及其友类算法手中的原理很容易解释,因而被广泛理解,其他简单的实现都都能不能只有很容易编写出来;但ECC的实现基础对于大多数人来说仍很神秘。

   具体来说,我将触及以下主题:

  1. 数学上的椭圆曲线及相关概念

  2. 密码学中的椭圆曲线

  3. 椭圆曲线上的加密/解密

  4. 椭圆曲线签名与验证签名


一、数学上的椭圆曲线及相关概念

   1.1  从平行线谈起

  平行线,永不相交。不过到了近代这个 结论遭到了质疑。平行线会我太多 在很远很远的地方相交?事实上这样人见到过。好多好多 “平行线,永不相交”好多好多 假设(亲们想想初中学习的平行公理,是这样证明的)。既然能只有假设平行线永不相交,都都能不能只有假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞(请亲们闭上眼睛,想象一下那个无穷远点P∞,P∞是全是很虚幻,随便说说与其说数学锻炼人的抽象能力,还不如说是锻炼人的想象力)。给个图帮助理解一下:

  

  直线上出显P∞点,所带来的好处是所有的直线都相交了,且只有有好几只 多多多交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把曾经平面上的点叫做平常点。

  以下是无穷远点的几只性质。

  ▲直线L上的无穷远点只有有有好几只 多多多。(从定义可直接得出)

  ▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。(从定义可直接得出)

  ▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。(我希望L1和L2有公共的无穷远点P ,则L1和L2有有好几只 多多多交点A、P,故假设错误。)

  ▲平面上全体无穷远点构成一根绳子 无穷远直线。(另一方想象一下这条直线吧)

  ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。

  1.2  射影平面坐标系

  射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系(好多好多 亲们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系)的扩展。亲们知道普通平面直角坐标系这样为无穷远点设计坐标,只有表示无穷远点。为了表示无穷远点,产生了射影平面坐标系,当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点(数学也是“向下兼容”的)。

  亲们对普通平面直角坐标系上的点A的坐标(x,y)做如下改造:

  令x=X/Z ,y=Y/Z(Z≠0);则A点能只有表示为(X:Y:Z)。

  变成了有有好几只 多多多参量的坐标点,这就对平面上的点建立了有好几只 多多多新的坐标体系。

  例1:求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  解:∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠0。即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标,全是(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  亲们都都能不能只有得到直线的方程aX+bY+cZ=0(想想为哪些地方?提示:普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0)。新的坐标体系都都能不能表示无穷远点么?那你要能只有们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识,亲们知道无穷远点是两条平行直线的交点。这样,怎么都能不能求两条直线的交点坐标?这是初中的知识,好多好多 将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是:aX+bY+c1Z =0; aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2);

  (为哪些地方?提示:能只有从斜率考虑,可能平行线斜率相同);

  将二方程联立,求解。有c2Z= c1Z= -(aX+bY),∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0;

  好多好多 无穷远点好多好多 这个 形式(X:Y:0)表示。注意,平常点Z≠0,无穷远点Z=0,我希望无穷远直线对应的方程是Z=0。

  例2:求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。

  解:可能L1∥L2 好多好多 有Z=0, X+2Y=0;好多好多 坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0。即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠0的坐标,都表示这个 无穷远点。

  看来这个 新的坐标体系都都能不能表示射影平面上所有的点,亲们就把这个 都都能不能表示射影平面上所有点硬的坐标体系叫做射影平面坐标系。

  1.3  椭圆曲线

  上一节,亲们建立了射影平面坐标系,这个 节亲们将在这个 坐标系下建立椭圆曲线方程。可能亲们知道,坐标中的曲线是能只有用方程来表示的(比如:单位圆方程是x2+y2=1)。椭圆曲线是曲线,自然椭圆曲线全是方程。

  椭圆曲线的定义:

  一根绳子 椭圆曲线是在射影平面上满足方程---------------------------[1-1]的所有点硬的集合,且曲线上的每个点全是非奇异(或光滑)的。

  定义详解:

  ▲[1-1] 是Weierstrass方程(维尔斯特拉斯,Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897),是有好几只 多多多齐次方程。

  ▲ 椭圆曲线的形态,并全是椭圆的。好多好多 可能椭圆曲线的描述方程,这个于计算有好几只 多多多椭圆周长的方程,故得名。

  亲们来看看椭圆曲线是哪些地方样的。

  

  ▲ 所谓“非奇异”或“光滑”的,在数学中是指曲线上任意其他的偏导数Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)只有并肩为0。可能你这样学欠缺等数学,能只有曾经理解这个 词,即满足方程的任意其他都指在切线。

  下面有好几只 多多多方程都全是椭圆曲线,尽管亲们是方程[3-1]的形式。

 

 

  可能亲们在(0:0:1)点处(即原点)这样切线。

  ▲椭圆曲线上有有好几只 多多多无穷远点O∞(0:1:0),可能这其他满足方程[1-1]。

  知道了椭圆曲线上的无穷远点。亲们就能只有把椭圆曲线里装普通平面直角坐标系上了。可能普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。亲们在普通平面直角坐标系上,求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程,加带带无穷远点O∞(0:1:0),不就构成椭圆曲线了么?

  亲们设x=X/Z ,y=Y/Z代入方程[1-1]得到:

  y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[1-2]

  也好多好多 说满足方程[1-2]的光滑曲线加带有好几只 多多多无穷远点O∞,组成了椭圆曲线。为了方便运算,表述,以及理解,今后论述椭圆曲线将主要使用[1-2]的形式。

  本节的最后,亲们谈一下求椭圆曲线其他的切线斜率问题报告 图片。

  由椭圆曲线的定义能只有知道,椭圆曲线是光滑的,好多好多 椭圆曲线上的平常点全是切线。而切线最重要的有好几只 多多多参数好多好多 斜率k。

  例3:求椭圆曲线方程上,平常点A(x,y)的切线的斜率k。

  解:令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6

  求偏导数

  Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4

  Fy(x,y)= 2y+a1x +a3

  则导数为:f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3)

         = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)

  好多好多  -------------[1-3]

  看不懂解题过程这样关系,记住结论[1-3]就能只有了。



  1.4  椭圆曲线上的加法

  上一节,亲们可能想看 了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象没哪些地方地方联系。亲们能只有建立有好几只 多多多这个于在实数轴加带法的运算法则呢?天才的数学家找到了这个 运算法则

  自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念,使得代数运算达到了深度1的统一。比如数学家总结了普通加法的主要形态,提出了加群(也叫交换群,或Abel(阿贝尔)群),在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法没哪些地方地方区别。这你说好多好多 数学抽象把:)。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。

  运算法则:任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合,则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另其他R’,过R’做y轴的平行线交于R。亲们规定P+Q=R。(如图)

  法则详解:

  ▲这里的+全是实数中普通的加法,好多好多 从普通加法中抽象出来的加法,他具备普通加法的其他性质,但具体的运算法则显然与普通加法不同。

  ▲根据这个 法则,能只有知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上其他P的连线交于P’,过P’作y轴的平行线交于P,好多好多 有 无穷远点 O∞+ P = P 。曾经,无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当(0+2=2),亲们把无穷远点 O∞ 称为 零元。并肩亲们把P’称为P的负元(简称,负P;记作,-P)。(参见下图)

  ▲根据这个 法则,能只有得到如下结论 :可能椭圆曲线上的有好几只 多多多点A、B、C,指在同一根绳子 直线上,这样亲们的和等于零元,即A+B+C= O∞

并肩不时线上的有好几只 多多多点之和等于0.

  注:亲们须要的好多好多 有好几只 多多多点同线,与点的次序无关。这因为 ,可能P、Q和R同线,这样P + (Q + R) = Q + (P + R) = R + (P + Q) = • • • = 0. 曾经,亲们直观地证明了亲们的“+”运算既满足结合律也满足交换律。  

  ▲k个相同的点P相加,亲们记作kP。如下图:P+P+P = 2P+P = 3P。

  下面,亲们利用P、Q点的坐标(x1,y1),(x2,y2),求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。

  例4:求椭圆曲线方y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6上,平常点P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。

  解:(1)先求点-R(x3,y3)

  可能P,Q,-R三点共线,故设共线方程为y=kx+b,其中

  若P≠Q(P,Q两点不重合) 则

  直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)

  若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线,故由例3.1可知:

  k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

  我希望P,Q,-R三点的坐标值好多好多 方程组:

  y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6    -----------------[1] 

  y=(kx+b)                     -----------------[2]

的解。

  将[2],代入[1] 有

  (kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6    --------[3]

  对[3]化为一般方程,根据三次方程根与系数关系(当三次项系数为1时;-x1x2x3 等于常数项系数, x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数,-(x1+x2+x3)等于二次项系数。)

  好多好多 -(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2

  x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标

  可能k=(y1-y3)/(x1-x3) 故

  y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标

  (2)利用-R求R

  显然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标

  而y3 y4 为 x=x4时 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解

  化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系得:

  -(a1x+a3)=y3+y4

  故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出点R的纵坐标

  即:

  x4=k2+ka1+a2+x1+x2;

  y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

  本节的最后,提醒亲们注意其他,随后提供的图像可能会给亲们产生一种错觉,即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上,椭圆曲线暂且一定关于x轴对称。如下图的y2-xy=x3+1


二、密码学中的椭圆曲线 

  亲们现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识,这是值得高兴的。

  但请亲们注意,前面学到的椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密好多好多 ,亲们须要把椭圆曲线变成离散的点, 要把椭圆曲线定义在有限域上

  我能只有们想一想,为哪些地方椭圆曲线为哪些地方连续?是可能椭圆曲线上点的坐标,是实数的(也好多好多 说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的),实数是连续的,因为 了曲线的连续。我希望,亲们要把椭圆曲线定义在有限域上(顾名思义,有限域是一种只有由有限个元素组成的域)。

  域的概念是从亲们的有理数,实数的运算中抽象出来的,严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说,域中的元素同有理数一样,有另一方得加法、乘法、除法、单位元(1),零元(0),并满足交换率、分配率。

  下面,亲们给出有好几只 多多多有限域Fp,这个 域只有有限个元素。

   

  Fp中只有p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1;

  Fp 的加法(a+b)法则是 a+b≡c (mod p);即,(a+b)÷p的余数 和c÷p的余数相同。

  Fp 的乘法(a×b)法则是  a×b≡c (mod p);

  Fp 的除法(a÷b)法则是  a/b≡c (mod p);即 a×b-1≡c  (mod p);(b-1也是有好几只 多多多0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p) )。

  Fp 的单位元是1,零元是 0。

  并肩,并全是所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类能只有用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。下面亲们就把y2=x3+ax+b(mod p) 这条曲线定义在Fp上:

  选用有好几只 多多多满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b

  4a3+27b2≠0 (mod p)

  则满足下列方程的所有点硬(x,y),加带带 无穷远点O∞ ,构成一根绳子 椭圆曲线。

  y2=x3+ax+b  (mod p)

  其中x,y∈[0,p-1]的整数,并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

  亲们看一下y2=x3+x+1  (mod 23)的图像

  是全是随便说说不可思议?椭圆曲线,怎么能会变成了这般模样,成了有好几只 多多多有好几只 多多多离散的点?

  椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子,但其本质仍是一根绳子 椭圆曲线。举有好几只 多多多不太恰当的例子,好比是水,在常温下,是气体;到了零下,水就变成冰,成了气体;而温度上升到一百度,水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。

  Fp上的椭圆曲线同样有加法,但可能只有给以几何意义的解释。不过,加法法则和实数域上的差太多,请读者自行对比。

  1. 无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P

  2. P(x,y)的负元是 (x,-y),有P+(-P)= O∞

  3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:

  x3≡k2-x1-x2(mod p) 

  y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

  其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1  若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1)

  例5: 已知椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P

          

        

解:

      

  最后,亲们讲一下椭圆曲线上点的阶。

  可能椭圆曲线上其他P,指在最小的正整数n,使得数乘nP=O∞,则将n称为P的 阶,若n不指在,亲们说P是无限阶的。

  事实上,在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n全是指在的。

       

  计算可得27P=-P=(3,13)

  好多好多 28P=O ∞ P的阶为28

  哪些地方地方点做成了有好几只 多多多循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序全是杂乱无章


三、椭圆曲线上的加密/解密

  公开密钥算法时不须要基于有好几只 多多多数学上的问题报告 图片。比如RSA 土办法的是:给定有好几只 多多多素数p、q 很容易相乘得到n,而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上哪些地方地方问题报告 图片呢?

  考虑如下等式:

  K=kG  [其中 K,G为Ep(a,b)上的点,k为小于n(n是点G的阶)的整数]

  先要发现,给定k和G,根据加法法则,计算K很容易;但给定K和G,求k就相对困难了。

  这好多好多 椭圆曲线加密算法采用的问题报告 图片。

  亲们把点G称为基点(base point),

  k(k<n,n为基点g的阶)称为私有密钥(privte key),

  k称为公开密钥(public="" key)。<="" p="">

  现在亲们描述有好几只 多多多利用椭圆曲线进行加密通信的过程:

  1、用户A选定一根绳子 椭圆曲线Ep(a,b),并取椭圆曲线上其他,作为基点G。

  2、用户A选用有好几只 多多多私有密钥k,并生成公开密钥K=kG。

  3、用户A将Ep(a,b)和点K,G传给用户B。

  4、用户B接到信息后 ,将待传输的明文编码到Ep(a,b)上其他M(编码土办法好多好多 ,这里不作讨论),并产生有好几只 多多多随机整数r(r<n)。

  5、用户B计算点C1=M+rK;C2=rG。

  6、用户B将C1、C2传给用户A。

  7、用户A接到信息后,计算C1-kC2,结果好多好多 点M。

  可能C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再对点M进行解码就能只有得到明文。

  在这个 加密通信中,可能有有好几只 多多多偷窥者H ,他只有想看 Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 全是相对困难的。我希望,H无法得到A、B间传送的明文信息。

总结:   

设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。   公钥加密:   选用随机数r,将消息M生成密文C,该密文是有好几只 多多多点对,即:   C = {rG, M+rK},其中K为公钥   私钥解密:   M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M   其中k、K分别为私钥、公钥。

       ECC技术要求:

  密码学中,描述一根绳子 Fp上的椭圆曲线,常用到十个 参量:

       T=(p,a,b,G,n,h)。

  (p 、a 、b 用来选用一根绳子 椭圆曲线,G为基点,n为点G的阶,h 是椭圆曲线上所有点硬的个数m与n相除的整数部分)

  这几只参量取值的选用,直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几只条件:

  1、p 当然越大越安全,但越大,计算传输数率会调快,80位左右能只有满足一般安全要求;

  2、p≠n×h;

  3、pt≠1 (mod n),1≤t<20;

  4、4a3+27b2≠0 (mod p);

  5、n 为素数;

  6、h≤4。


四、椭圆曲线签名与验证签名

   椭圆曲线签名算法,即ECDSA。

  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

 

  私钥签名:

  1、选用随机数r,计算点rG(x, y)。

  2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。

  3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

 

  公钥验证签名:

  1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。

  2、根据消息求哈希h。

  3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。

 

  原理如下:

  hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

  = r(h+xk)G / (h+kx) = rG


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REFERENCE

1.巴比特论坛 作者:ZMWorm http://8btc.com/article-138-1.html

2.张禾瑞,《近世代数基础》,高等教育出版社,1978

3.闵嗣鹤 严士健,《初等数论》,高等教育出版社,1982

4. ECC详解 https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/7392805.html

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